大学数学（高数线代）直观理解知识
我们要有个向量组，拿里面线性无关的向量做基。赋予加法和数乘两种运算，两种运算的具体定义如下：
加法：
（1）（交换律）x+y=y+x；
（2）（结合律）(x+y)+z=x+(y+z)
（3）（零元素）在V中有一元素θ，对于V中任一元素x都有x+θ=x；
（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=θ；
数乘
（5）（1乘律）1x=x；
（6）（结合律）k(bx)=(kb)x；
然后再考虑一下混合运算——
（7）（分配律）(k+b)x=kx+bx；（k倍的缩放加 b 倍的缩放等于k+b倍的缩放）
（8）（数因子分配律）k(x+y)=kx+ky．（合成后再缩放等于缩放后再合成）
k，b等元素属于一个数域P（初学者就理解成R吧）。
好了，数学家拍拍手，这样我们就得出一个向量空间了。
记住这个例子，对于很多人来说，这也许是我们第一次接触数学里”结构“这个概念，而且也许是最后一次。而数学专业的同学以后肯定会再次接触这个概念的。你看，我们这次构筑空间后，至少我们会在直觉里把元素和它们的运算律（映射关系）这些东西和”结构“扯上关系了。下次如果看到什么”代数结构“之类的词也不至于一脸懵逼。
矩阵这个东西实在是个大发明，但其实就表达拿特定的向量所构筑的一个空间。搞个简单的，比如“(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)三个向量所构筑一个三维空间”，这么长一句话的内容其实一个矩阵就表达完了——
嗯……这个是单位阵形式。当然你还可以搞各种花式构筑，比如我们用(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)作为基底一样可以构筑三维空间，表达出来就是这样子的.
。不过这些矩阵都是等价的，他们实际上都表示同一个空间，只不过描述方式不一样罢了。
但有的时候，我们会看到这样的
，这个按理说，应该是(1,2,3)(4,5,6)两个向量做基底，构筑的就是二维空间，但它和
不等价。因为从理论上说，既然一个向量，用了三个坐标表示，那意味着我们已经把它放在了一个三维空间里思考，不过这两个向量本身只能构成一个二维空间。所以总的来说，
这个矩阵表示的是一个在三维空间里的二维空间。我们称它表示的是三维空间的一个子空间。三维空间里等级最高为三，像
的等级就达到了满级，而
却没有达到满级。哦，数学里面叫满秩。
任何n阶的满秩矩阵就是n维空间那一定可以表示成n阶单位阵
。事实上，我们知道向量是可以缩放与合成的，比如
是个以(1,2)(3,4)为基的二维空间吧，而这两个基其实完全可以变成(1,0)(0,1)，没错吧。怎么变？缩放+合成嘛。也就是用之前说的加法和数乘啊。我们先把(1,2)放大嘛，放大个两倍成(2,4)，再反个向得到(-2,-4)，然后和(3,4)合成就可以得到(1,0)了，然后再用(1,0)的反向(-1,0)和(1,2)合成，就会得到(0,2)，缩放后就是(0,1)，OK，基底变换完成。这个就是初等行变换的意思。
基础知识基本就到这里了，也许你还没看够。因为之后的信息量简直要爆炸，我处理三四天了实在没处理得过来，只能放在下一篇了。等价相似特征值，高斯格林斯托克，还有有趣的行列式！这段时间大家多幻想一下空间的扩张，说不定自己就会有奇妙的体验哦。
